GEOMETRIA E COSMOLOGIA SOB ÓTICA MARXISTA

 Se anularmos o espaço aleatório correspondente ao intervalo entre os pontos zero e um da reta das abscissas no plano cartesiano, restar-nos-á uma singularidade geométrica: a pura coincidência entre dois limites que, embora topologicamente bem definidos, encerravam entre si um infinito denso de números reais. Essa anulação metafórica — que faz colapsar o intervalo num ponto — remete, em termos físicos, à densidade infinita do chamado instante zero da cosmologia padrão, aquele anterior ao surgimento do tempo, da extensão e da causalidade: o Big Bang.

No âmbito da matemática, a densidade do intervalo [0,1] expressa a infinitude não enumerável dos números reais, como demonstrado por Georg Cantor por meio do argumento da diagonalização. A supressão desse espaço, porém, elimina não apenas a continuidade, mas também a própria possibilidade de mensuração — e, com ela, a inteligibilidade do número como expressão da alteridade. Pois se o número designa um "outro" distinguível no espaço, sua supressão radical dissolve a alteridade e, portanto, o próprio fundamento ontológico do cálculo.

Entretanto, conforme já obtemperamos, a noção de número não é um a priori platônico ou mero constructo lógico-formal: ela deriva da noção de indivíduo, e esta, por sua vez, da forma histórica da propriedade privada dos meios de produção. O número, na modernidade capitalista, é a forma abstrata da contagem de unidades isoladas, passíveis de serem apropriadas, trocadas, quantificadas. Nesse sentido, a individualidade não é uma categoria natural, mas um construto social que corresponde à atomização dos sujeitos sob o regime da mercadoria.

O mesmo se aplica, por analogia dialética, às categorias de espaço e tempo vigentes na ciência moderna e na teoria cosmológica do Big Bang. O espaço, tal como concebido por Newton e herdado, com variações, por Einstein, é a extensão homogênea e mensurável dentro da qual os corpos se deslocam. O tempo é a sucessão mensurável de eventos. Ambos pressupõem a existência de entes discretos, separados, capazes de ocuparem posições distintas e de serem submetidos a transformações regulares.

Ora, esse modelo espaço-temporal repousa sobre uma ontologia da separabilidade: os corpos existem como entidades autônomas, individualizadas — tal como as mercadorias na circulação. É por isso que a cosmologia contemporânea, mesmo em sua vertente mais sofisticada, não escapa ao vício de origem de projetar a ideologia do capital sobre o cosmos, instaurando um tempo absoluto e linear, um espaço vazio e homogêneo, e uma singularidade originária que remete ao momento fundacional de toda propriedade: o ponto onde tudo ainda era Uno e indivisível, prestes a se expandir em múltiplos apropriáveis.

Dessa forma, a singularidade cosmológica — aquele ponto de densidade infinita anterior ao tempo — não é apenas uma hipótese física, mas também uma metáfora ideológica que consagra a origem do mundo como uma irrupção súbita da diferença a partir de um Nada absoluto. No plano social, isso espelha o mito burguês do contrato social, da gênese da propriedade, do surgimento do sujeito isolado.

A crítica marxista da economia política, entretanto, nos ensina que nem o número, nem o tempo, nem o espaço são neutros. Eles expressam, cada qual a seu modo, formas históricas de sociabilidade. A linha reta dos eixos cartesianos, o intervalo numérico contínuo, a sucessão dos instantes e a expansão do espaço-tempo nada mais são do que expressões matemáticas da forma-mercadoria, elevadas ao estatuto de universalidade ontológica.

A anulação do intervalo [0,1], portanto, não representa apenas uma abstração geométrica. Ela nos obriga a encarar o caráter socialmente constituído da matemática e da física, e a suspeitar da aparente neutralidade dos conceitos que organizam nossa compreensão do mundo. Como Marx advertia já nos Manuscritos de 1844, o ser humano produz a natureza enquanto se produz a si mesmo — e nisso se inscreve também sua cosmologia, sua álgebra, sua geometria e sua física.

Por Luís Fernando Franco Martins Ferreira, historiador.

A SEGUNDA TESE

 Karl Marx, na segunda tese sobre Feuerbach, supera e transcende a dicotomia de jaez platônico entre racionalismo e empirismo, ao preconizar que é na prática que se prova a verdade objetiva de um pensamento, a saber, seu caráter terreno e sua realidade.

Mas muitos confundem empirismo com práxis, o que configura equívoco: o empirismo é estático e apreendido a posteriori pelo pensamento, enquanto a práxis é o próprio pensamento atuante e atual.

Dirão que o pensamento de Marx não preencheu, nesse caso, o requisito de veracidade por ele mesmo estabelecido, diante do naufrágio da experiência soviética.

Será?

Ao contrário do que os Fukuyama alardeiam, a história não terminou no capitalismo, e a hipótese comunista, na terminologia de Alain Badiou, ainda remanesce para ser testada na prática, apesar dos erros do passado.

Por Luís Fernando Franco Martins Ferreira, historiador.

EGO E ÉDIPO

 Através do mecanismo do complexo de Édipo, o ser humano individualmente considerado dissocia-se de seus pais e do passado e constroi seu Ego, base material dos conceitos correlatos de número e de infinito (como vimos no texto imediatamente precedente), o que lhe permite edificar uma vida independente na constituição de uma família própria.

Mas a delimitação imanente ao Ego é mistificadora, pois o indivíduo é de fato fruto da sociedade passada e da sociedade atual em que vive, podendo ser considerada como construto ideológico, base do liberalismo individualista, verbi gratia.

Por Luis Fernando Franco Martins Ferreira, historiador.

NÚMERO E INFINITO

 Como parece lícito dessumir do texto intitulado Número e Mercadoria, o número consiste em delimitação arbitrária, que engendra dialeticamente seu contrário, o infinito, isto é, a ausência de limites.

Mas esta delimitação decorre também das relações de produção, maxime da propriedade privada dos meios de produção, que é na verdade uma extensão da individualidade.

Mas o indivíduo é um construto ideológico, carente de consistência e concretude quando dissociado das sociedades atual e precedente que o produzem.

Expressão da propriedade privada dos meios de produção, o capital encerra, todavia, uma tendência inerente à acumulação infinita, que se contrapõe a um mundo finito e, portanto, engendra crises econômicas e ecológicas.

Por Luís Fernando Franco Martins Ferreira, historiador.

NÚMERO E MERCADORIA

 O Número como Forma de Sociabilidade

Essa ideia articula com densidade a gênese do conceito de número com a crítica da forma-mercadoria em Marx, situando o número não apenas como uma abstração lógica ou epistemológica, mas como uma forma social de mediação própria do modo de produção capitalista. Desenvolvamos passo a passo.

1. Níveis de Abstração: do Conceito de Ovelha ao Conceito de Número

O conceito de ovelha é um exemplo clássico da abstração conceitual típica da lógica aristotélica: a partir da experiência com múltiplos indivíduos particulares (cada qual com sua cor, tamanho, idade, etc.), elabora-se um conceito genérico que mantém os traços essenciais e elimina os acidentais. Tal conceito ainda se refere a seres particulares concretos, embora de modo generalizado.

Já o conceito de número opera com uma abstração radicalmente mais profunda: ele não se refere a um tipo específico de ser, mas a qualquer coisa — ou mais precisamente, à quantidade indiferenciada de coisas, desprovidas de qualquer qualidade própria. O número é, portanto, uma forma extrema de abstração, pois prescinde de qualquer referência concreta determinada.

2. O Número como Derivado da Forma-Mercadoria

Essa abstração extrema do número não emerge do nada. Ela está profundamente ligada à lógica do capital. A forma-mercadoria, como nos mostra Marx no início de O Capital, é a célula elementar da sociedade burguesa. Ela se constitui quando um objeto, originalmente portador de um valor de uso determinado, torna-se intercambiável com outros objetos por meio do valor de troca.

Essa intercambialidade generalizada exige um denominador comum, uma forma de equivalência entre objetos qualitativamente diferentes. Essa equivalência é o tempo de trabalho humano abstrato cristalizado nas mercadorias. Mas para que essa equivalência funcione socialmente, é preciso quantificá-la. A forma de valor é, pois, a base social da quantificação econômica, e é nesse processo que o número adquire sua função social plena.

Assim, o número não é apenas um instrumento lógico ou técnico: ele emerge e se consolida como expressão da forma social de troca mercantil, da redução de qualidades concretas a magnitudes abstratas comparáveis. O número, nesse sentido, é um produto social da mercantilização da vida.

3. O Número como Forma de Sociabilidade

Se a forma-mercadoria é uma relação social mediada por coisas, então o número — enquanto operador lógico dessa mediação — é também uma forma social. Ele não paira acima das relações sociais; ele é, ao contrário, uma expressão condensada e funcional dessas relações.

Quando dizemos que uma mercadoria vale “10 unidades monetárias”, o que está em jogo não é um número neutro: trata-se de uma forma de expressão do tempo de trabalho socialmente necessário que a sociedade reconhece como critério de equivalência. O número, aqui, mede o tempo abstrato. Portanto, ele não é apenas uma forma simbólica, mas uma forma socialmente operante da própria reprodução capitalista.

Nesse sentido, o número, como a moeda, é um universal real, uma forma de mediação social objetiva, imposta pelas relações de produção.

4. Implicações Filosóficas e Críticas

Essa análise permite ultrapassar tanto o formalismo matemático quanto o empirismo vulgar. O número não é um dado natural nem uma convenção arbitrária: ele é uma forma historicamente determinada de representar e operar a realidade social sob o regime da troca generalizada.

A matematização do mundo moderno — como notado por Adorno e Horkheimer na Dialética do Esclarecimento — não é apenas um avanço técnico, mas a generalização da lógica da equivalência mercantil a todas as esferas da vida, inclusive à subjetividade. A redução do mundo ao número é, portanto, a redução do mundo à forma abstrata da sociabilidade capitalista.

5. Conclusão

O número não é apenas uma abstração lógica que mede coisas: ele mede a sociedade. Ele nasce do processo social pelo qual objetos se tornam comparáveis em termos de valor de troca. A forma-mercadoria, como relação social mediada por equivalência quantitativa, gera e exige o número como seu correlato.

Assim, a diferença entre o conceito de “ovelha” e o conceito de “número” não é apenas uma questão de grau de abstração, mas de natureza social da abstração. Enquanto o primeiro abstrai diferenças dentro de uma espécie concreta, o segundo abstrai a própria materialidade qualitativa das coisas, instaurando um mundo de pura quantidade, indispensável à lógica do capital.

Por Luís Fernando Franco Martins Ferreira, historiador.

FINITUDE

 I. Plano Matemático: O intervalo como totalidade paradoxal

Ao tomarmos o intervalo [0,1] no eixo das abscissas do plano cartesiano — ou seja, todos os números reais x tais que 0 ≤ x ≤ 1 — deparamo-nos com um conjunto infinitamente denso: entre qualquer dois pontos desse intervalo, sempre existe um terceiro ponto distinto, e entre esse terceiro e os anteriores, outros infinitos, ad infinitum.

Esse fato não é apenas um efeito colateral do uso de números reais: é uma propriedade estrutural da continuidade, cujo fundamento reside na não-enumerabilidade do conjunto dos reais, conforme demonstrado por Georg Cantor por meio de seu famoso argumento da diagonalização.

Assim, embora os pontos extremos 0 e 1 pareçam delimitar um intervalo finito e bem definido, essa finitude é meramente topológica, não numérica. O número de pontos contidos entre eles é o mesmo que em todo o contínuo real: incontável, não numerável, denso e ininterrupto.

II. Plano Epistemológico: A finitude como convenção mental

A demarcação de um segmento como “de zero a um” corresponde a um ato de delimitação simbólica, um corte arbitrário e utilitário no fluxo contínuo da realidade. Tal como o sistema métrico define o metro como uma fração da velocidade da luz ou da oscilação de um átomo de césio, o intervalo entre 0 e 1 nada mais é do que uma convenção de mensuração.

No entanto, essa convenção não captura a infinitude interna do intervalo. Cada ponto ali contido pode ser identificado por uma sequência infinita de dígitos decimais (como 0.333... ou 0.101101...), o que exige uma estrutura simbólica infinitamente extensível, como os sistemas numéricos posicionais ou binários.

Portanto, a finitude geométrica do intervalo é ilusória: ela esconde a complexidade potencialmente infinita que o habita. Ao tentar "fechar" um intervalo, o sujeito matemático na verdade projeta uma moldura racional sobre um objeto que escapa à finitude cognitiva.

III. Plano Ontológico-Crítico: A quimera da finitude

Do ponto de vista filosófico, o intervalo [0,1] é uma figura simbólica da finitude. Ele representa, na imaginação matemática, algo que pode ser "completamente conhecido", "completamente mensurado", "completamente delimitado". No entanto, esse objeto está saturado de infinitude: ele não possui átomos espaciais, não é composto de "últimos elementos", mas de infinitas divisões sucessivas.

Essa contradição lembra as aporias de Zenão de Eleia, segundo as quais o movimento seria impossível porque exige a travessia de infinitos pontos intermediários. O paradoxo da "finitude infinita" não é resolvido, mas apenas administrado simbolicamente pelas estruturas formais da matemática moderna (análise, topologia, lógica dos conjuntos).

O que emerge, então, é que a finitude — tal como concebida na matemática clássica — não é uma propriedade da realidade, mas uma ficção operacional necessária para que possamos praticar mensuração, cálculo e engenharia. A "finitude" é a domesticação simbólica de um real estruturalmente infinito.

Conclusão

O intervalo de 0 a 1, aparentemente tão limitado, revela-se um abismo lógico, onde a distinção entre finito e infinito se dissolve. Ele é o emblema da tensão entre o racional e o incognoscível, entre o desejo humano de domínio simbólico e a estrutura intrinsecamente aporética do real.

Nesse sentido, a matemática moderna — ainda que finque suas bases na abstração pura — nos conduz de volta a um problema profundamente filosófico: a finitude como mito epistemológico, necessário mas ilusório, sempre à beira de se desfazer no oceano do contínuo.

Por Luís Fernando Franco Martins Ferreira, historiador.

CONJECTURA SOBRE OS INFINITOS (em homenagem ao matemático Marcelo Viana)

 Na aritmética moderna, Georg Cantor introduziu uma revolução conceitual ao demonstrar que existem infinitos com diferentes "tamanhos", ou melhor, diferentes cardinalidades. Essa descoberta abalou a matemática clássica e estabeleceu as bases da teoria dos conjuntos. Cantor provou, por exemplo, que o conjunto dos números naturais (ℕ) é infinito, mas que o conjunto dos números reais (ℝ) é um infinito maior — ou seja, o infinito dos reais não pode ser colocado em correspondência biunívoca com o dos naturais. Ele distinguiu entre o infinito enumerável (como o de ℕ) e o infinito não enumerável (como o de ℝ), revelando uma hierarquia dos infinitos com base em suas cardinalidades: ℵ₀ (alef-zero) para os naturais, 2^ℵ₀ para os reais, e assim por diante.

Esse panorama aritmético subverteu a ideia de que "infinito é apenas infinito" e mostrou que a quantidade de elementos de um conjunto infinito pode variar, ainda que ambos os conjuntos sejam infinitos. O infinito, portanto, deixou de ser uma ideia nebulosa e tornou-se passível de formalização e gradação.

Na geometria e na cosmologia contemporânea, encontramos um análogo surpreendente: a ideia de que o universo em expansão também comporta "infinitos de diferentes tamanhos", embora não formalizados da mesma maneira que na aritmética. A partir da Teoria da Relatividade Geral e das observações astronômicas do século XX, tornou-se claro que o universo não é estático, mas está em expansão acelerada, o que sugere que o espaço pode ser infinita ou potencialmente infinita e diversamente "grande" — dependendo do modelo cosmológico adotado.

Nesse contexto, a geometria assume uma dimensão física e dinâmica: o universo pode ser finito mas ilimitado (como na geometria de Riemann), ou realmente infinito, e a própria noção de “tamanho” do espaço varia conforme sua curvatura e expansão. Com a inflação cósmica e o conceito de multiverso, emerge a possibilidade de múltiplos "universos" com infinitas extensões, talvez com métricas distintas — ou seja, infinitos geométricos de naturezas não equivalentes.

Portanto, se Cantor nos revelou os infinitos aritméticos, hierarquizados pelas cardinalidades dos conjuntos, a física contemporânea parece nos propor, ainda que com menos rigor matemático, uma analogia: infinitos geométricos e físicos com extensões e curvaturas não uniformes. A aritmética formaliza a diferença entre os infinitos através da teoria dos conjuntos; a geometria, através da física, nos sugere que o real pode conter infinitudes diversas em termos espaciais e temporais.

Por Luís Fernando Franco Martins Ferreira, historiador.