CONJECTURA SOBRE OS INFINITOS (em homenagem ao matemático Marcelo Viana)

 Na aritmética moderna, Georg Cantor introduziu uma revolução conceitual ao demonstrar que existem infinitos com diferentes "tamanhos", ou melhor, diferentes cardinalidades. Essa descoberta abalou a matemática clássica e estabeleceu as bases da teoria dos conjuntos. Cantor provou, por exemplo, que o conjunto dos números naturais (ℕ) é infinito, mas que o conjunto dos números reais (ℝ) é um infinito maior — ou seja, o infinito dos reais não pode ser colocado em correspondência biunívoca com o dos naturais. Ele distinguiu entre o infinito enumerável (como o de ℕ) e o infinito não enumerável (como o de ℝ), revelando uma hierarquia dos infinitos com base em suas cardinalidades: ℵ₀ (alef-zero) para os naturais, 2^ℵ₀ para os reais, e assim por diante.

Esse panorama aritmético subverteu a ideia de que "infinito é apenas infinito" e mostrou que a quantidade de elementos de um conjunto infinito pode variar, ainda que ambos os conjuntos sejam infinitos. O infinito, portanto, deixou de ser uma ideia nebulosa e tornou-se passível de formalização e gradação.

Na geometria e na cosmologia contemporânea, encontramos um análogo surpreendente: a ideia de que o universo em expansão também comporta "infinitos de diferentes tamanhos", embora não formalizados da mesma maneira que na aritmética. A partir da Teoria da Relatividade Geral e das observações astronômicas do século XX, tornou-se claro que o universo não é estático, mas está em expansão acelerada, o que sugere que o espaço pode ser infinita ou potencialmente infinita e diversamente "grande" — dependendo do modelo cosmológico adotado.

Nesse contexto, a geometria assume uma dimensão física e dinâmica: o universo pode ser finito mas ilimitado (como na geometria de Riemann), ou realmente infinito, e a própria noção de “tamanho” do espaço varia conforme sua curvatura e expansão. Com a inflação cósmica e o conceito de multiverso, emerge a possibilidade de múltiplos "universos" com infinitas extensões, talvez com métricas distintas — ou seja, infinitos geométricos de naturezas não equivalentes.

Portanto, se Cantor nos revelou os infinitos aritméticos, hierarquizados pelas cardinalidades dos conjuntos, a física contemporânea parece nos propor, ainda que com menos rigor matemático, uma analogia: infinitos geométricos e físicos com extensões e curvaturas não uniformes. A aritmética formaliza a diferença entre os infinitos através da teoria dos conjuntos; a geometria, através da física, nos sugere que o real pode conter infinitudes diversas em termos espaciais e temporais.

Por Luís Fernando Franco Martins Ferreira, historiador.