INTRODUÇÃO À CRÍTICA DA MATEMÁTICA

 A crítica da matemática pode ser analisada produtivamente à luz da lógica hegeliana, sobretudo conforme desenvolvida na 'Ciência da Lógica' e na 'Enciclopédia das Ciências Filosóficas'. Nesse contexto, a matemática é concebida como uma forma de conhecimento que opera por meio da abstração formal, fixando determinações externas ao movimento real do conceito. A teoria crítica contemporânea da matemática, por sua vez, radicaliza esse diagnóstico ao historicizar suas categorias como formas sociais ideologicamente mediadas pela estrutura do capital.

I. A Matemática como Exterioridade

Hegel compreende a matemática como um saber do entendimento, alheio à razão especulativa. Ela parte de definições fixas e avança por deduções formais, sem gerar conteúdo novo. O conceito não se desenvolve por mediações internas, mas é manipulado por regras exteriores, abstraindo-se da contradição e do devir. A teoria crítica contemporânea retoma esse ponto, mas o desloca ao plano sócio-histórico: as formas matemáticas — especialmente o número — são vistas como expressões ideológicas da equivalência mercantil, fundadas na propriedade privada dos meios de produção. A matemática moderna é, nesse sentido, uma linguagem da dominação abstrata.

II. Lógica do Conceito versus Lógica Formal

Hegel rejeita a lógica formal por operar com a identidade abstrata (A = A), incapaz de pensar a contradição. A lógica dialética exige a negação e a superação como momentos internos do conceito. A crítica da matemática acompanha essa estrutura: o número como identidade tautológica oculta a diferença e o movimento interno da realidade social. Ao quantificar relações qualitativas e singularidades vivas, ele congela e naturaliza determinações histórico-sociais sob a aparência de neutralidade.

III. A Dialética da Quantidade

Na 'Ciência da Lógica', Hegel mostra que a quantidade emerge da degradação da qualidade e, ao se intensificar, pode retornar a uma qualidade nova. A teoria crítica moderna da matemática aplica essa lógica à própria história do capital: a acumulação quantitativa conduz a saltos qualitativos, como a transição do capitalismo concorrencial ao monopolista. A linguagem matemática é instrumental nesse processo, ao expressar as transformações do valor sob formas abstratas e quantificadas, apagando a qualidade social subjacente.

IV. O Infinito como Ideologia

Hegel distingue o infinito verdadeiro (autossuperação do finito) do infinito ruim (progressão indefinida). A matemática opera com o segundo, que ele considera uma abstração vazia. A crítica contemporânea vê o uso do infinito na matemática e na cosmologia como a sublimação do impulso de expansão ilimitada do capital. A categoria de infinito é então compreendida como ideologia simbólica da contradição entre o desejo de acumulação e os limites materiais e históricos.

V. A Matemática como Fetiche

Hegel sustenta que a matemática, enquanto saber do entendimento, é inferior à filosofia. A crítica moderna vai além: ela mostra que a matemática é o modo como o capital pensa a si mesmo — como linguagem universal, formal, abstrata, intercambiável. Os algoritmos, índices, curvas e sistemas de equações tornam-se formas simbólicas do valor autonomizado. A abstração matemática não apenas expressa, mas estrutura a dominação. É a racionalidade formal do capital em sua forma pura.

VI. Conclusão

A crítica contemporânea da matemática, quando lida pela ótica da lógica hegeliana, revela-se como um desdobramento radical da crítica da exterioridade e da identidade abstrata. Ela reintegra a contradição, a história e a mediação social nas formas aparentemente neutras do pensamento formal. Dessa forma, a matemática deixa de ser um saber desinteressado e passa a ser compreendida como uma tecnologia simbólica de reprodução das relações capitalistas.

VII. A Radicalização Gödeliana e seus Limites

A crítica lógica à matemática alcança seu ponto extremo com Kurt Gödel, cujos dois teoremas da incompletude — publicados em 1931 — demonstram, de forma rigorosa, que todo sistema formal suficientemente poderoso é necessariamente incompleto ou inconsistente. Com isso, Gödel levou a desconfiança de Hegel sobre o formalismo matemático ao paroxismo: a matemática, fundada na lógica formal, não é capaz de garantir sua própria consistência nem de provar todas as suas verdades internas. Tal constatação implode a pretensão da matemática de ser um saber totalizante e seguro, rompendo com o ideal moderno de completude.

Contudo, a crítica gödeliana permanece no interior do próprio discurso formal: é uma crítica imanente à lógica simbólica, que reconhece a impossibilidade de um fechamento absoluto, mas não interroga as condições históricas, sociais e ontológicas da própria forma matemática. É aqui que a crítica materialista dialética avança: ela identifica a base concreta da abstração matemática na generalização do valor de troca, tal como opera na forma-mercadoria. O número, enquanto medida formalmente indiferente à qualidade, é homólogo ao valor abstrato que permite a troca entre mercadorias qualitativamente distintas. A lógica da matemática moderna é, assim, inseparável da lógica da equivalência mercantil, ambas estruturadas pela forma social do capital.

Dessa forma, se Gödel desestabilizou o edifício lógico da matemática desde dentro, a crítica dialética expõe suas fundações materiais como produtos de uma forma específica de sociabilidade histórica. A inconsistência ou incompletude não é apenas epistêmica: é expressão do antagonismo entre a forma abstrata da medida e a complexidade concreta da vida social. A crítica materialista não apenas reconhece os limites da razão formal, mas desvela suas raízes fetichizadas e propõe sua superação histórica e dialética.

Por Luís Fernando Franco Martins Ferreira, historiador.