TRANSPORTE ÓTIMO E PLANIFICAÇÃO ECONÔMICA DESCENTRALIZADA

A teoria do transporte ótimo como núcleo matemático da planificação econômica descentralizada

Por Luís Fernando Franco Martins Ferreira

Introdução

A planificação econômica descentralizada, concebida como um algoritmo mundial de coordenação entre oferta e demanda, pode ser formalizada matematicamente por meio da teoria do transporte ótimo. Nesse quadro, a economia mundial é tratada como um sistema de fluxos materiais entre centros produtores e centros consumidores.

Estrutura matemática básica

Considere:

P = {1,2,...,m} o conjunto de produtores.
C = {1,2,...,n} o conjunto de consumidores.

Cada produtor i informa sua oferta:

s_i ≥ 0

Cada consumidor j informa sua demanda:

d_j ≥ 0

Condição de equilíbrio material global:

∑_i=1^m s_i = ∑_j=1ⁿ d_j = M

Matriz de custos sociais

Define-se o custo social de transporte entre i e j:

c_ij ≥ 0

A matriz C = (c_ij) representa o dispêndio de trabalho social necessário para realizar os fluxos entre todos os pares de produtores e consumidores.

Plano de transporte

O algoritmo deve determinar as variáveis:

x_ij ≥ 0

onde x_ij representa a quantidade enviada do produtor i ao consumidor j.

Restrições de oferta:

∑_j=1ⁿ x_ij = s_i, para todo i.

Restrições de demanda:

∑_i=1^m x_ij = d_j, para todo j.

Função objetivo

O problema central do algoritmo consiste em minimizar o custo social total:

min   ∑_i=1^m ∑_j=1ⁿ c_ijx_ij

sujeito às restrições de oferta, demanda e não negatividade.

Formulação dual

O problema dual do transporte ótimo pode ser expresso como:

max   ∑_i=1^m u_is_i + ∑_j=1ⁿ v_jd_j

sujeito a:

u_i + v_j ≤ c_ij

As variáveis u_i e v_j podem ser interpretadas como valores sombra ou potenciais sociais, derivados do processo de otimização.

Algoritmo central de planificação

A cada instante t, o algoritmo mundial resolve:

min   ∑ c_ij^(t)x_ij^(t)

sujeito a:

∑ x_ij^(t) = s_i^(t)
∑ x_ij^(t) = d_j^(t)

O resultado é um plano global de fluxos materiais que equilibra oferta e demanda com o menor dispêndio possível de trabalho social.

Conclusão

A teoria do transporte ótimo fornece o núcleo matemático de um algoritmo mundial de planificação econômica descentralizada. Ela permite substituir a mediação indireta dos preços pelo cálculo direto dos fluxos materiais, minimizando o dispêndio total de trabalho social e estabelecendo uma coordenação consciente entre produção e consumo.