Expansão do capital industrial, taxa de mais-valia e composição orgânica
Diferentemente do capital financeiro, que se apresenta como valor homogêneo em crescimento segundo uma taxa de juros uniforme, o capital industrial possui uma estrutura interna diferenciada. No interior do processo produtivo, o capital se divide em duas partes qualitativamente distintas:
- Capital constante (c): meios de produção, que apenas transferem seu valor;
- Capital variável (v): força de trabalho, única fonte de valor novo e de mais-valia.
A massa de mais-valia produzida é:
$$ m = s \cdot v $$
onde $s$ é a taxa de mais-valia.
O capital total é:
$$ K = c + v $$
Hipóteses dinâmicas
Consideremos duas tendências fundamentais do capitalismo:
- A taxa de mais-valia cresce com o tempo:
$$ s = s(t) $$
- A composição orgânica do capital também cresce:
$$ k(t) = \frac{c(t)}{v(t)} $$
Da definição da composição orgânica:
$$ c(t) = k(t)\,v(t) $$
Logo, o capital total pode ser escrito como:
$$ K(t) = v(t)(1 + k(t)) $$
Portanto:
$$ v(t) = \frac{K(t)}{1 + k(t)} $$
Equação diferencial da acumulação
Suponhamos, para simplificação, que toda a mais-valia seja acumulada. Então:
$$ \frac{dK}{dt} = m(t) $$
Como:
$$ m(t) = s(t)\,v(t) $$
Substituindo:
$$ \frac{dK}{dt} = s(t)\,v(t) $$
E usando a expressão de $v(t)$:
$$ \frac{dK}{dt} = s(t)\frac{K(t)}{1+k(t)} $$
Obtemos a equação fundamental da acumulação:
$$ \frac{dK}{dt} = \frac{s(t)}{1+k(t)}K(t) $$
Solução geral
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Sua solução é:
$$ K(t) = K_0 \exp\left( \int_0^t \frac{s(\tau)}{1+k(\tau)} \,d\tau \right) $$
Esta é a expressão geral da expansão do capital industrial.
Comparação com o capital financeiro
No capital financeiro:
$$ \frac{dK}{dt} = rK $$
No capital industrial:
$$ \frac{dK}{dt} = \frac{s(t)}{1+k(t)}K $$
A taxa efetiva de crescimento é:
$$ g(t) = \frac{s(t)}{1+k(t)} $$
Caso particular: tendências exponenciais
Suponhamos:
$$ s(t) = s_0 e^{\alpha t} $$
$$ k(t) = k_0 e^{\beta t} $$
Então:
$$ g(t) = \frac{s_0 e^{\alpha t}} {1 + k_0 e^{\beta t}} $$
Para tempos longos:
$$ g(t) \approx \frac{s_0}{k_0} e^{(\alpha - \beta)t} $$
Logo:
- Se $\alpha < \beta$: desaceleração da acumulação.
- Se $\alpha = \beta$: crescimento exponencial estável.
- Se $\alpha > \beta$: aceleração da acumulação.
Interpretação teórica
A taxa efetiva de crescimento do capital não é a taxa de mais-valia pura, mas:
$$ g = \frac{s}{1+k} $$
Isso significa que a própria elevação da composição orgânica, resultado do progresso técnico, tende a reduzir a taxa de expansão do capital, a menos que a exploração do trabalho cresça em ritmo superior.
A acumulação capitalista não é um simples processo exponencial, mas um movimento contraditório entre exploração do trabalho vivo e expansão do capital morto.
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